Affine Kurve/Differentialmodul/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, seien  ${}a,b\in \mathbb {N}$  teilerfremde Zahlen und sei  ${}R=K[X,Y]/(X^{a}-Y^{b})$.  Dann ist

${}\Omega _{R{|}K}=RdX+RdY/{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\,.$

Die Differentialform ${}aYdX-bXdY$ ist nicht ${}0$, aber ein nilpotentes Torsionselement.

Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Es ist

${}{\begin{aligned}0&=XY{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\\&=aYX^{a}dX-bXY^{b}dY\\&=aYY^{b}dX-bXY^{b}dY\\&=Y^{b}(aYdX-bXdY).\end{aligned}}$

Es ist daher auch

${}{\begin{aligned}(aYdX-bXdY)^{a+b}&=(aYdX-bXdY)^{a+b-1}\cdot (aYdX-bXdY)\\&={\left(Y^{b}F+X^{a}G\right)}\cdot (aYdX-bXdY)\\&=0.\end{aligned}}$

$\Box$

Es sei  ${}a<b$.  Dann hat man in der symmetrischen Algebra auch die Gleichungen

${}b^{b}X^{b}(dY)^{b}=(bXdY)^{b}=(aYdX)^{b}=a^{b}Y^{b}(dX)^{b}=a^{b}X^{a}(dX)^{b}\,$

und modulo Torsion auch

${}b^{b}X^{b-a}(dY)^{b}=a^{b}(dX)^{b}\,,$

also eine Ganzheitsgleichung für ${}dX$ über ${}R[dY]$.