Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei das Bild der Abbildung. Nach Fakt ist

Nun gilt für mit und für die Beziehung

wobei das Polynom ist, das sich ergibt, wenn man in die Variable durch die -te Koeffizientenfunktion ersetzt. Daher ist genau dann, wenn ist, und verschwindet auf ganz genau dann, wenn auf dem ganzen verschwindet. Da unendlich ist, bedeutet dies, dass das Nullpoynom ist. Daher gilt, dass ist genau dann, wenn unter dem zugehörigen Ringhomomorphismus

auf abgebildet wird. Damit ist das Urbild eines Primideals (nämlich des Nullideals) und somit nach Aufgabe selbst ein Primideal. Aufgrund von Fakt ist irreduzibel.

Zur bewiesenen Aussage