Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}B=\varphi ({{\mathbb {A} }_{K}^{r}})$ das Bild der Abbildung. Nach Fakt ist

${}{\overline {B}}=V(\operatorname {Id} \,(B))\,.$

Nun gilt für ${}P=\varphi (Q)$ mit ${}Q\in {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ und für ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ die Beziehung

${}F(P)=F(\varphi (Q))=(F\circ \varphi )(Q)\,,$

wobei ${}F\circ \varphi \in K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ das Polynom ist, das sich ergibt, wenn man in ${}F$ die Variable ${}X_{i}$ durch die ${}i$-te Koeffizientenfunktion ${}\varphi _{i}\in K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ ersetzt. Daher ist ${}F(P)=0$ genau dann, wenn ${}(F\circ \varphi )(Q)=0$ ist, und ${}F$ verschwindet auf ganz ${}B$ genau dann, wenn ${}F\circ \varphi$ auf dem ganzen ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ verschwindet. Da ${}K$ unendlich ist, bedeutet dies, dass ${}F\circ \varphi$ das Nullpoynom ist. Daher gilt, dass ${}F\in \operatorname {Id} \,(B)$ ist genau dann, wenn ${}F$ unter dem zugehörigen Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$

auf ${}0$ abgebildet wird. Damit ist ${}\operatorname {Id} \,(B)$ das Urbild eines Primideals (nämlich des Nullideals) und somit nach Aufgabe selbst ein Primideal. Aufgrund von Fakt ist ${}V(\operatorname {Id} \,(B))$ irreduzibel.

Zur bewiesenen Aussage