Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein Körper und es seien Polynome. Es sei ein Punkt. Dann heißt die Matrix

die Jacobi-Matrix zu im Punkt .

Für beschreibt die Jacobi-Matrix das totale Differential. Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt surjektiv ist, als ihr Rang gleich ist, so gilt der Satz über implizite Abbildungen, der besagt, dass die Faser durch von in einer offenen Umgebung von diffeomorph zu ist. Die Faser ist also lokal um eine Mannigfaltigkeit.

Dies führt zur folgenden Definition


Definition  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät

die irreduzibel sei und die Dimension besitze. Es sei ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix

im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.