Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper

${}P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring

${}R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.$

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn ${}R$ regulär ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen