Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei $P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal  $𝔫=(X_1,\dots ,X_n)$  im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal  $𝔯=𝔫/𝔞$  in $K[X_1,\dots ,X_n]/𝔞$ und dem zugehörigen maximalen Ideal  $𝔪={𝔪}_P=𝔯(K[X_1,\dots ,X_n]/𝔞{)}_{𝔯}$  in $R$. Wir betrachten die $K$-lineare Abbildung

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K^n,g⟼(({\partial }_{1}g)(P),\dots ,({\partial }_{n}g)(P)).$

Dabei werden die Variablen $X_i$ auf die Standardvektoren $e_i$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

$g=c_0+c_1{X}_1+\cdots +c_n{X}_n+\text{ höhere Terme}$

wird auf $(c_1,\dots ,c_n)$ abgebildet. Ein homogenes Element

$g\in {𝔫}^2=K[X_1,\dots ,X_n{]}_{\ge 2}$

besitzt zumindest den Grad $2$ und wird daher auf $0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um $1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann $0$. Insgesamt induziert dies eine $K$-lineare Abbildung

$𝔫/{𝔫}^2⟶K^n,$

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Fakt ist  $𝔯/{𝔯}^2\cong 𝔪/{𝔪}^2$.  Unter der surjektiven Abbildung

$𝔫⟶𝔯⟶𝔯/{𝔯}^2$

wird ${𝔫}^2$ und $𝔞$ auf $0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau ${𝔫}^2+𝔞$. Somit gibt es eine $K$-lineare Bijektion

$𝔫/({𝔫}^2+𝔞)⟶𝔯/{𝔯}^2.$

Wir betrachten die Abbildungen

$K^m\stackrel{\mathrm{Jak}}{⟶}{K}^n\cong 𝔫/{𝔫}^2⟶𝔫/({𝔫}^2+𝔞).$

Ein Element  $[g]\in 𝔫/{𝔫}^2$  wird rechts genau dann auf $0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von $g$ zu ${𝔫}^2+𝔞$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

$g=\sum _{i=1}^m{h}_i{f}_i$

modulo ${𝔫}^2$ besteht und dies bedeutet (für die $h_i$ ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

$\left(\begin{array}{c}({\partial }_{1}g)(P)\\ ⋮\\ ({\partial }_{n}g)(P)\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m{h}_i\left(\begin{array}{c}({\partial }_1{f}_i)(P)\\ ⋮\\ ({\partial }_n{f}_i)(P)\end{array}\right)$

Dies ist genau dann der Fall, wenn $\left(\begin{array}{c}({\partial }_{1}g)(P)\\ ⋮\\ ({\partial }_{n}g)(P)\end{array}\right)$ im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

$n=\mathrm{rang}(\mathrm{Jak})+{\dim }_K(𝔫/({𝔫}^2+𝔞))=\mathrm{rang}(\mathrm{Jak})+{\dim }_K(𝔪/{𝔪}^2).$

Es sei nun $d$ die Dimension von $V(𝔞)$ im Punkt $P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes $R$ übereinstimmt. Nach Definition ist $P$ genau dann nichtsingulär, wenn  $n=\mathrm{rang}(\mathrm{Jak})+d$  ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

${\dim }_K(𝔪/{𝔪}^2)=d$

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

Zur bewiesenen Aussage