Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt/Beweis

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Beweis

Ohne Einschränkung sei der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal in und dem zugehörigen maximalen Ideal in . Wir betrachten die -lineare Abbildung

Dabei werden die Variablen auf die Standardvektoren abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

wird auf abgebildet. Ein homogenes Element

besitzt zumindest den Grad und wird daher auf abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann . Insgesamt induziert dies eine -lineare Abbildung

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Fakt ist . Unter der surjektiven Abbildung

wird und auf abgebildet, und zwar ist der Kern genau . Somit gibt es eine -lineare Bijektion

Wir betrachten die Abbildungen

Ein Element wird rechts genau dann auf geschickt, wenn der lineare Anteil von zu gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

modulo besteht und dies bedeutet (für die ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

Dies ist genau dann der Fall, wenn im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

Es sei nun die Dimension von im Punkt , die mit der Dimension des lokalen Ringes übereinstimmt. Nach Definition ist genau dann nichtsingulär, wenn ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

Zur bewiesenen Aussage