Ohne Einschränkung sei
der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal
im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal
in
und dem zugehörigen maximalen Ideal
in
. Wir betrachten die
-lineare Abbildung
-
Dabei werden die Variablen
auf die Standardvektoren
abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element
-

wird auf
abgebildet. Ein homogenes Element
-
![{\displaystyle {}g\in {\mathfrak {n}}^{2}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\geq 2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be26a28925c1331ed42717f50520a616b1fea7c)
besitzt zumindest den Grad
und wird daher auf
abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um
reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann
. Insgesamt induziert dies eine
-lineare Abbildung
-
die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.
Nach
Fakt
ist
.
Unter der surjektiven Abbildung
-
wird
und
auf
abgebildet, und zwar ist der Kern genau
. Somit gibt es eine
-lineare Bijektion
-
Wir betrachten die Abbildungen
-
Ein Element
wird rechts genau dann auf
geschickt, wenn der lineare Anteil von
zu
gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form
-

modulo
besteht und dies bedeutet
(für die
ist nur der konstante Term relevant),
dass eine lineare Gleichung der Form
-

Dies ist genau dann der Fall, wenn
im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist
nach der Dimensionsformel
-

Es sei nun
die Dimension von
im Punkt
, die mit der Dimension des lokalen Ringes
übereinstimmt. Nach Definition ist
genau dann nichtsingulär, wenn
ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn
-

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.