Affine Varietäten/Zariski-Topologie ist noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$V_1\supseteq V_2\supseteq \dots$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${𝔸}_K^n$. Daraus folgt nach Fakt  $\mathrm{Id}(V_i)\subseteq \mathrm{Id}(V_{i+1})$  für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für  $i\ge i_0$.  Nach Fakt  (3) ist  $V_i=V(\mathrm{Id}(V_i))$.  Daraus folgt dann aber für  $i\ge i_0$,  dass

$V_i=V(\mathrm{Id}(V_i))=V(\mathrm{Id}(V_{i+1}))=V_{i+1},$

sodass die absteigende Kette stationär werden muss.

Zur bewiesenen Aussage