Affine Varietäten/Zariski-Topologie ist noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Daraus folgt nach Fakt  ${}\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})$  für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für  ${}i\geq i_{0}$.  Nach Fakt  (3) ist  ${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))$.  Daraus folgt dann aber für  ${}i\geq i_{0}$,  dass

${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,$

sodass die absteigende Kette stationär werden muss.

Zur bewiesenen Aussage