Affine Varietäten/Zariski-Topologie ist noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Daraus folgt nach Fakt ${}\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})$ für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für ${}i\geq i_{0}$. Nach Fakt  (3) ist ${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))$. Daraus folgt dann aber für ${}i\geq i_{0}$, dass

${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,$

sodass die absteigende Kette stationär werden muss.

Zur bewiesenen Aussage