Angenommen, gehöre nicht zum Radikal von . Dann gibt es nach
Fakt
auch ein
maximales Ideal
mit
und mit . Nach
Fakt
ist
-
für gewisse . Die Eigenschaft bedeutet, dass im zugehörigen Restekörper nicht ist, und das bedeutet . Wegen
ist aber
ein Punkt von
, sodass dort nach Voraussetzung
verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.