Affiner Raum/Punktiert/Syzygienbündel/Beispiel

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$K[X,Y,Z]\longrightarrow K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW),$

die zugehörige Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$

sowie deren Einschränkung

$\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\supseteq D(X)\cup D(Y)\cup D(Z)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\setminus \{(0,0,0)\}=D(X)\cup D(Y)\cup D(Z).$

Letzteres ist ein geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}2$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den ${}D(X),D(Y),D(Z)$ gegeben, vergleiche Beispiel. Beispielsweise ist

${}{\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}_{X}\cong K[X,Y,Z]_{X}[V,W]\,,$

da man

${}U=-{\frac {YV+ZW}{X}}\,$

ausdrücken kann.