Affiner Raum/Punktiert/Syzygienbündel/Beispiel

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$K[X,Y,Z]⟶K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW),$

die zugehörige Spektrumsabbildung

$\mathrm{Spek}(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW))⟶{𝔸}_K^3$

sowie deren Einschränkung

$\phi :\mathrm{Spek}(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW))\supseteq D(X)\cup D(Y)\cup D(Z)⟶{𝔸}_K^3\setminus \{(0,0,0)\}=D(X)\cup D(Y)\cup D(Z).$

Letzteres ist ein geometrisches Vektorbündel vom Rang $2$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den $D(X),D(Y),D(Z)$ gegeben, vergleiche Beispiel. Beispielsweise ist

${(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW))}_X\cong K[X,Y,Z{]}_X[V,W],$

da man

$U=-\frac{YV+ZW}{X}$

ausdrücken kann.