Affines Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K/R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und die zugehörige, nach Fakt exakte Sequenz von quasikohärenten Garben

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {K}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {K/R}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

Insbesondere gilt

${}{\widetilde {K/R}}={\widetilde {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\,$

und ${}{\widetilde {K}}$ ist die konstante Garbe zum Funktionenkörper. Die globale Auswertung dieseer Garbensequenz ergibt die Ausgangssequenz. Aus Fakt folgt die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage