Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist. Ferner ist es nicht das Einheitsideal. Wenn ${}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung

${}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}=Y\cup Z=V{\left({\mathfrak {b}}\right)}\cup V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\,,$

wobei wir ${}{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ als Radikale ansetzen können. Das bedeutet ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}$. Wegen ${}V{\left({\mathfrak {b}}\right)},V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\subset V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ ist nach Fakt  (5)

${}{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}\,.$

Somit gibt es ${}f\in {\mathfrak {b}}$ ${},f\notin {\mathfrak {a}}$, und ${}g\in {\mathfrak {c}}$ ${},g\notin {\mathfrak {a}}$. Daher ist

${}fg\in {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}\,,$

und ${}{\mathfrak {a}}$ ist kein Primideal.

Wenn umgekehrt ${}{\mathfrak {a}}$ kein Primideal ist, so gibt es Elemente ${}f,g\notin {\mathfrak {a}}$ und ${}fg\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist ${}D(fg)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ und somit

${}D(fg)\cap V({\mathfrak {a}})=\emptyset \,.$

Da ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist, ist ${}f^{n}\notin {\mathfrak {a}}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Nach Aufgabe gibt es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$. Also ist

${}D(f)\cap V({\mathfrak {a}})\neq \emptyset \,$

und entsprechend für ${}D(g)$. Nach Fakt ist ${}V({\mathfrak {a}})$ nicht irreduzibel.

Zur bewiesenen Aussage