Beweis
Wir können direkt annehmen, dass
ein
Radikal
ist. Ferner ist es nicht das
Einheitsideal.
Wenn
nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung
-
![{\displaystyle {}V{\left({\mathfrak {a}}\right)}=Y\cup Z=V{\left({\mathfrak {b}}\right)}\cup V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff678b31165db5cc480354230a030a10cfd1b482)
wobei wir
als Radikale ansetzen können. Das bedeutet
.
Wegen
ist nach
Fakt (5)
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d584daf47cb9137cb7d58932532130495d8eb75)
Somit gibt es
,
und
.
Daher ist
-
![{\displaystyle {}fg\in {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c457da348b7140e97f603a407807d0fe859500e)
und
ist kein Primideal.
Wenn umgekehrt
kein Primideal ist, so gibt es Elemente
und
.
Dann ist
und somit
-
![{\displaystyle {}D(fg)\cap V({\mathfrak {a}})=\emptyset \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bcf7387f1e4ad8408bd439172460e44a799012)
Da
ein Radikal ist, ist
für alle
.
Nach
Aufgabe
gibt es ein Primideal
mit
und
.
Also ist
-
![{\displaystyle {}D(f)\cap V({\mathfrak {a}})\neq \emptyset \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b688ea7dcbde17b31ac6c83e77f3379099f486)
und entsprechend für
. Nach
Fakt
ist
nicht irreduzibel.