Algebraische Elemente und Körpererweiterungen/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.

Wenn ein Polynom das algebraische Element annulliert (also ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz (siehe weiter unten) und algebraisch äquivalent.


Definition  

Sei ein Körper und eine -Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .

Die über den rationalen Zahlen algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.


Definition  

Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl ist genau dann algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen und für algebraisch. Dagegen sind die Zahlen und nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.



Definition  

Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.

Eine -Algebra kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper auffassen (ist kein Körper, so ist eine -Algebra ein -Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.


Definition  

Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.


Definition  

Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die -(Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.