Algebraische Funktion/C/y^2 ist x^2+x^3/Funktionslimes/Aufgabe

Wir betrachten die durch

${}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

gegebene Kurve, den Punkt ${}P=(0,0)\in C$ und das offene Komplement ${}U=C\setminus \{P\}$.

1. Zeige, dass ${}{\frac {Y}{X}}$ eine algebraische Funktion auf ${}U$ ist, die nicht auf ganz ${}C$ algebraisch ausdehnbar ist.
2. Zeige, dass der Abbildungslimes zur Funktion

   $\varphi ={\frac {Y}{X}}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   nicht existiert.

3. Zeige, dass es Folgen ${}{\left(w_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}U$ gibt, die beide gegen ${}P$ konvergieren, für die die Bildfolgen unter ${}\varphi$ jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte.

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