Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Der Polynomring über ${}R$ besteht aus allen Polynomen

   $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

   mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

   und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

2. Eine affin-algebraische Teilmenge ${}W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge ${}W\subset W'\subseteq V$ gibt.
3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein ${}n\in \mathbb {N}$, so ist bereits ${}f\in {\mathfrak {a}}$.
4. Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von ${}M$.
5. Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
6. Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.

Zur gelösten Aufgabe