Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel

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Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die allgemeine lineare Gruppe operiert in natürlicher Weise linear auf . Die Elemente sind ja definiert als -Automorphismen von in sich und somit ist die Abbildung

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

so dass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt und , da es zu zwei von verschiedenen Vektoren und stets einen Automorphismus gibt, der in überführt.