Allgemeine und spezielle lineare Gruppe/Operation auf Vektortupeln/Untervektorräume/Invarianten/Beispiel

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Es sei ein Körper und ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei (man denke an ) und wir betrachten die Wirkungsweise von auf dem -fachen Produkt von mit sich selbst, bei der ein -Tupel von Vektoren aus auf ein anderes, durch die Matrix bestimmtes -Tupel abgebildet wird. Mit interessieren wir uns also für die Abbildung

Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von erzeugte -Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel erzeugten Untervektorraum. Wenn die linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen -dimensionalen Untervektorraum und zwei Basen von gibt es stets einen Automorphismus von , der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von auf die (offene und dichte) Teilmenge einschränkt, die aus allen linear unabhängigen -Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den -dimensionalen Untervektorräumen von , und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz sind schwieriger zu charakterisieren.

Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum sind die Linearformen mit

Dabei sind die Linearformen auf , die wir direkt als Linearformen auf über die -te Projektion auffassen. Zu und ist die verknüpfte Abbildung gleich

Daher ist

Es sei nun , so dass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum gehört der Polynomring

Dabei repräsentieren die , , die Koordinatenfunktionen der -ten Kopie des Vektorraums . Die Variable ist die -te Projektion von auf gefolgt von der -ten Projektion von auf . Somit ist (es steht an der -ten Stelle)

Wenn eine Linearform (also eine Linearkombination aller ) in Matrixform als

gegeben ist, wobei die die Koeffizienten zu bezeichnen, so erhält man die durch transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu multipliziert, also

Damit liegt eine Operation der auf dem Polynomring in Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe ein. Dann sind sämtliche -Minoren der Variablenmatrix

invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung

Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von Fakt invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von gleich sind). Die -Minoren sind Linearformen auf dem -ten Dachprodukt.