Allgemeine und spezielle lineare Gruppe/Operation auf Vektortupeln/Untervektorräume/Invarianten/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}r\in \mathbb {N}$ (man denke an $r\leq n$) und wir betrachten die Wirkungsweise von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem ${}r$-fachen Produkt von ${}V$ mit sich selbst, bei der ein ${}r$-Tupel ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}r$ Vektoren aus ${}V$ auf ein anderes, durch die Matrix ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ bestimmtes ${}r$-Tupel abgebildet wird. Mit ${}g={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}$ interessieren wir uns also für die Abbildung

$\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}\times V^{r}\longrightarrow V^{r},\,({\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right).$

Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ erzeugte ${}K$-Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel ${}g(v_{1},\ldots ,v_{r})$ erzeugten Untervektorraum. Wenn die ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen ${}r$-dimensionalen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und zwei Basen von ${}U$ gibt es stets einen Automorphismus von ${}U$, der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf die (offene und dichte) Teilmenge ${}T\subseteq V^{r}$ einschränkt, die aus allen linear unabhängigen ${}r$-Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den ${}r$-dimensionalen Untervektorräumen von ${}V$, und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz ${}V^{r}$ sind schwieriger zu charakterisieren.

Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum ${}W=V^{r}$ sind die Linearformen ${}f=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ mit

${}f(v_{1},\ldots ,v_{r})=f_{1}(v_{1})+\cdots +f_{r}(v_{r})\,.$

Dabei sind die ${}f_{i}$ Linearformen auf ${}V$, die wir direkt als Linearformen auf ${}V^{r}$ über die ${}i$-te Projektion auffassen. Zu ${}g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ und ${}f=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)$ ist die verknüpfte Abbildung gleich

${}{\begin{aligned}(fg)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right)&=f\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)\\&=f_{1}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i}\right)}+f_{2}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i}\right)}+\cdots +f_{r}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}a_{1i}f_{1}{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}a_{2i}f_{2}{\left(v_{i}\right)}+\cdots +\sum _{i=1}^{r}a_{ri}f_{r}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}a_{ji}f_{j}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j}{\left(v_{1}\right)}+\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j}{\left(v_{2}\right)}+\cdots +\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}{\left(v_{r}\right)}\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right).\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}fg&=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)g\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right).\end{aligned}}$

Es sei nun ${}V=K^{n}$, sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum ${}V^{r}$ gehört der Polynomring

$K[X_{ij}\,,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq r].$

Dabei repräsentieren die ${}X_{ij}$, ${}1\leq i\leq n$, die Koordinatenfunktionen der ${}j$-ten Kopie des Vektorraums ${}K^{n}$. Die Variable ${}X_{ij}$ ist die ${}j$-te Projektion von ${}V^{r}$ auf ${}V=K^{n}$ gefolgt von der ${}i$-ten Projektion ${}p_{i}$ von ${}K^{n}$ auf ${}K$. Somit ist (es steht ${}p_{i}$ an der ${}j$-ten Stelle)

${}{\begin{aligned}X_{ij}g&=\left(0,\,\ldots ,\,p_{i},\,0,\,\ldots ,\,0\right)g\\&=\left(a_{j1}p_{i},\,\ldots ,\,a_{jr}p_{i}\right)\\&=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}X_{ik}.\end{aligned}}$

Wenn eine Linearform (also eine Linearkombination aller ${}X_{ij}$) in Matrixform als

${\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}$

gegeben ist, wobei die ${}c_{ij}$ die Koeffizienten zu ${}X_{ij}$ bezeichnen, so erhält man die durch ${}g$ transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu ${}g$ multipliziert, also

${\begin{pmatrix}c'_{11}&c'_{12}&\ldots &c'_{1r}\\c'_{21}&c'_{22}&\ldots &c'_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c'_{n1}&c'_{n2}&\ldots &c'_{nr}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}\circ {{\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}.$

Damit liegt eine Operation der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring in ${}nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{r}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ ein. Dann sind sämtliche ${}r$-Minoren der Variablenmatrix

${\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1r}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{n1}&X_{n2}&\ldots &X_{nr}\end{pmatrix}}$

invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung

$V^{r}\longrightarrow \bigwedge ^{r}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}.$

Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von Fakt invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von ${}g$ gleich ${}1$ sind). Die ${}r$-Minoren sind Linearformen auf dem ${}r$-ten Dachprodukt.