An-Singularität/Picardgruppe/Beispiel

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Wir betrachten den kommutativen Ring über einem Körper mit dem maximalen Ideal und die offene Menge

Es ist

(vermöge ) ein faktorieller Integritätsbereich und somit sind sämtliche invertierbaren Garben auf (und entsprechend auf ) nach Fakt trivial. Ferner ist

Eine invertierbare Garbe auf ist somit durch einen Isomorphismus

gegeben, der wiederum einer Einheit aus entspricht. Sei eine solche Einheit. Die Einheiten, die von oder herrühren und multiplikative Kombinationen daraus führen gemäß Bemerkung zu einer trivialen invertierbaren Garbe. Die Restklassengruppe besteht aus mit und daher ist die Picardgruppe von gleich .