An-Singularität/Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten den kommutativen Ring ${}R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$ über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ und die offene Menge

${}U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,.$

Es ist

${}R_{X}\cong K[X,X^{-1},Z]\,$

(vermöge ${}Y={\frac {Z^{n}}{X}}$) ein faktorieller Integritätsbereich und somit sind sämtliche invertierbaren Garben auf ${}D(X)$ (und entsprechend auf ${}D(Y)$) nach Fakt trivial. Ferner ist

${}R_{XY}=R_{Z}\cong K[X,X^{-1},Z,Z^{-1}]\,.$

Eine invertierbare Garbe auf ${}U$ ist somit durch einen Isomorphismus

$K[X,X^{-1},Z,Z^{-1}]\cong {\mathcal {O}}_{U}{|}_{D(XY)}\longrightarrow K[X,X^{-1},Z,Z^{-1}]\cong {\mathcal {O}}_{U}{|}_{D(XY)},$

gegeben, der wiederum einer Einheit aus ${}K[X,X^{-1},Z,Z^{-1}]$ entspricht. Es sei ${}cX^{i}Z^{j}$ eine solche Einheit. Die Einheiten, die von ${}R_{X}$ oder ${}R_{Y}$ herrühren und multiplikative Kombinationen daraus führen gemäß Bemerkung zu einer trivialen invertierbaren Garbe. Die Restklassengruppe besteht aus ${}Z^{j}$ mit ${}j=0,1,\ldots ,n-1$ und daher ist die Picardgruppe von ${}U$ gleich ${}\mathbb {Z} /(n)$.