Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe/Lösung

1. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

   ${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

   für alle ${}k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
2. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild ${}J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

   $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

   ist ebenfalls stetig.
3. Es sei

   ${}y'=g(t)y\,$

   eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

   $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

   die auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ auf ${}I$. Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

   $y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Zur gelösten Aufgabe