Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Das Element ${}b\in L$ heißt Grenzwert von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist ${}f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$.
2. Der Raum ${}M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten ${}x,y\in M$ eine stetige Abbildung

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

   mit ${}\gamma (a)=x$ und ${}\gamma (b)=y$ gibt.

3. Die Abbildung ${}f$ heißt in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

   existiert.

4. Ein Vektorfeld ist eine Abbildung

   $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

   wobei ${}I$ ein reelles Intervall ist.

5. Die Abbildung ${}f$ heißt differenzierbar in Richtung ${}v$, falls ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

   $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$

   die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v$.

6. Eine Abbildung

   $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   ${}K$-linear sind.

Zur gelösten Aufgabe