Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch ${}S\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
2. Eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von ${}M$, wenn ${}M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

   das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

4. Zu Karten ${}\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ mit  ${}U_{1},U_{2}\subseteq M$  offen heißt die Abbildung

   $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

   die Übergangsabbildung zu diesen Karten.

5. Die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P$ (mit ${}Q=\varphi (P)$) ist die zur Tangentialabbildung

   $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

   duale Abbildung

   $T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ).$

6. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)

   $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

   ${}C^{1}$-differenzierbar sind.

Zur gelösten Aufgabe