Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

Die Unterraumtopologie auf ${}Y\subseteq X$ wird durch folgende Vorschrift definiert: Für eine Teilmenge ${}U\subseteq Y$ gilt ${}U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in ${}X$ offene Menge ${}V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass ${}V\cap Y=U$ gilt.
Eine Abbildung
$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

heißt ein äußeres Maß auf ${}M$ , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (S)\leq \mu (T)$ .
2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$ , ${}i\in I$ , aus ${}{\mathcal {P}}$ , für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt
  ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$
Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
Die beiden Kurven ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in ${}P$ , wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Ein reeller Vektorraum ${}V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

gibt, wobei die ${}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

Diffeomorphismen sind.

Zur gelösten Aufgabe