Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

   $\varphi \colon X\longrightarrow Y$

   gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

2. Die Menge

   ${}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$. Das durch

   ${}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$

   für ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$.

3. Man nennt

   ${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

   das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

4. Der Tangentialraum ${}T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
5. Zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
6. Die äußere Ableitung von ${}\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der ${}\omega$ die Gestalt

   ${}\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$

   besitzt, durch

   ${}d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$

   definiert.

Zur gelösten Aufgabe