Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Zu ist nach Fakt  (3) und somit ist

    Diese Intervalllängen bilden nach Fakt  (4) eine Nullfolge.

  2. Nach Fakt  (1) ist

    Somit ist

    und rechts steht wieder die Nullfolge.

  3. Nach Fakt kann der Grenzwert nicht sein. Nach Fakt  (5) konvergiert daher gegen und somit konvergiert nach Fakt  (1)

    (Betrachten der beiden Seiten) gegen

    Daraus ergibt sich .

Zur bewiesenen Aussage