Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

1. Zu ${}m\geq n$ ist nach Fakt  (3) ${}x_{m}\in [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]$ und somit ist

   ${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,.$

   Diese Intervalllängen bilden nach Fakt  (4) eine Nullfolge.

2. Nach Fakt  (1) ist

   ${}{\frac {c}{x_{n}}}\leq {\sqrt {c}}\leq x_{n}\,.$

   Somit ist

   ${}0\leq \vert {x_{n}-{\sqrt {c}}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,$

   und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus dem Quetschkriterium.

3. Nach Fakt kann der Grenzwert nicht ${}0$ sein. Nach Fakt  (5) konvergiert daher ${}{\frac {c}{x_{n}}}$ gegen ${}{\frac {c}{x}}$ und somit konvergiert nach Fakt  (1)

   ${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,$

   (Betrachten der beiden Seiten) gegen

   ${}x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.$

   Daraus ergibt sich ${}x^{2}=c$.

Zur bewiesenen Aussage