Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe $s$ , und sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Zu $ϵ / 2$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0} \subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen $E \subseteq I$ mit $E_{0} \subseteq E$ die Abschätzung $‖ v_{E} - s ‖ \leq ϵ / 2$ gilt. Für jede zu $E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge $D$ gilt dann

\begin{matrix} ‖ v_{D} ‖ & = ‖ v_{D} + v_{E_{0}} - s - v_{E_{0}} + s ‖ \\ \leq ‖ v_{D} + v_{E_{0}} - s ‖ + ‖ v_{E_{0}} - s ‖ \\ = ‖ v_{E_{0} \cup D} - s ‖ + ‖ v_{E_{0}} - s ‖ \\ \leq ϵ / 2 + ϵ / 2 \\ = ϵ, \end{matrix}

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes $n \in ℕ_{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{n} \subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge $D \subseteq I$ mit $E_{n} \cap D = \emptyset$ die Abschätzung $‖ v_{D} ‖ \leq 1 / n$ gilt. Wir können annehmen, dass $E_{n} \subseteq E_{n + 1}$ für alle $n$ gilt. Wir setzen

x_{n} := v_{E_{n}} = \sum_{i \in E_{n}} v_{i} .

Für $k \geq m \geq n$ gilt

‖ x_{k} - x_{m} ‖ = ‖ \sum_{i \in E_{k}} v_{i} - \sum_{i \in E_{m}} v_{i} ‖ = ‖ v_{E_{k} ∖ E_{m}} ‖ \leq 1 / m \leq 1 / n,

da die Menge $E_{k} ∖ E_{m}$ disjunkt zu $E_{m}$ ist. Daher ist ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von $V$ konvergent gegen ein $s \in V$ .
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$ . Es sei dazu ein $ϵ > 0$ vorgegeben. Es gibt $n \in ℕ_{+}$ mit $1 / n \leq ϵ / 2$ . Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben $‖ x_{n} - s ‖ \leq ϵ / 2$ . Für jedes endliche $E \supseteq E_{n}$ schreiben wir $E = E_{n} \cup D$ mit $E_{n} \cap D = \emptyset$ . Damit gelten die Abschätzungen

\begin{matrix} ‖ v_{E} - s ‖ & = ‖ v_{E_{n}} + v_{D} - s ‖ \\ \leq ‖ v_{E_{n}} - s ‖ + ‖ v_{D} ‖ \\ \leq ϵ / 2 + ϵ / 2 \\ = ϵ . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage