Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Mengen  ${}E\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\subseteq E$  die Abschätzung  ${}\Vert {v_{E}-s}\Vert \leq \epsilon /2$  gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\Vert {v_{D}}\Vert &=\Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s-v_{E_{0}}+s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&=\Vert {v_{E_{0}\cup D}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}v_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{n}\subseteq I$  derart, dass für jede endliche Teilmenge  ${}D\subseteq I$  mit  ${}E_{n}\cap D=\emptyset$  die Abschätzung  ${}\Vert {v_{D}}\Vert \leq 1/n$  gilt. Wir können annehmen, dass  ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$  für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=v_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}v_{i}\,.$

Für  ${}k\geq m\geq n$  gilt

${}\Vert {x_{k}-x_{m}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in E_{k}}v_{i}-\sum _{i\in E_{m}}v_{i}}\Vert =\Vert {v_{E_{k}\setminus E_{m}}}\Vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}V$ konvergent gegen ein  ${}s\in V$. 
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Es gibt  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  mit  ${}1/n\leq \epsilon /2$.  Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben  ${}\Vert {x_{n}-s}\Vert \leq \epsilon /2$.  Für jedes endliche  ${}E\supseteq E_{n}$  schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\Vert {v_{E}-s}\Vert &=\Vert {v_{E_{n}}+v_{D}-s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{E_{n}}-s}\Vert +\Vert {v_{D}}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage