Banachscher Fixpunktsatz/Formuliere und beweise Existenzaussage/Aufgabe/Lösung

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a) Der Banachsche Fixpunktsatz besagt:

Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt genau einen Fixpunkt.

b)

Sei ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.