Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung

Es sei eine Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ gegeben. Aufgrund von Fakt  (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor ${}u\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

${}u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente ${}s_{i}\in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von ${}u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren und die Koordinatentupel ${}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in K^{n}$. Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt. Durch eine Basis hat man also insbesondere eine bijektive Abbildung

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

Die Umkehrabbildung

${\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\right)}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$

nennt man auch die Koordinatenabbildung.