Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung

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Es sei eine Basis eines -Vektorraums gegeben. Aufgrund von Fakt  (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente (Skalare) heißen die Koordinaten von bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren und die Koordinatentupel . Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt. Durch eine Basis hat man also insbesondere eine bijektive Abbildung

Die Umkehrabbildung

nennt man auch die Koordinatenabbildung.