Beringte Räume/Morphismen/Einführung/Textabschnitt

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge  ${}V\subseteq Y$  der Ringhomomorphismus

$C^{0}(V,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\varphi ^{-1}(V),\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch ${}\varphi ^{*}f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.

Definition

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$

zu jeder offenen Menge  ${}V\subseteq Y$,  die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen  ${}W\subseteq V\subseteq Y$  das Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{V}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{W}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(W),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ von beringten Räumen induziert für jeden Punkt  ${}P\in X$  einen Ringhomomorphismus der Halme

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P},$

wobei ein  ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$,  das durch  ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$  mit einer offenen Umgebung  ${}\varphi (P)\in V$  repräsentiert wird, auf den Keim von  ${}\varphi ^{*}(f)\in \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$  abgebildet wird.

Definition

Ein Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus ${}\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit  ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$  und  ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$  (als Identität von beringten Räumen) gibt.