Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Gleichmäßige Konvergenz und Supremumskonvergenz/Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass eine Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}M$ genau dann gegen ${}f\in M$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${}M$ konvergiert.

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