Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Es seien  ${}u_{1},u_{2}\in V$  und  ${}a_{1},a_{2}\in K$.  Dann ist für jeden Vektor  ${}v\in V$ 

${}\left\langle a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2},v\right\rangle =a_{1}\left\langle u_{1},v\right\rangle +a_{2}\left\langle u_{2},v\right\rangle \,,$

und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Es sei also  ${}u\in V$  derart, dass ${}\left\langle u,-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. D.h.  ${}\left\langle u,v\right\rangle =0$  für alle  ${}v\in V$.  Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet  ${}u=0$  sein.
Wenn ${}V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage