Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Seien und . Dann ist für jeden Vektor

und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Sei also so, dass die Nullabbildung ist. D.h. für alle . Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet sein. Wenn endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage