Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel

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Wir wollen den Invariantenring zur binären Tetraedergruppe berechnen, die auf dem Polynomring operiert. Wir verwenden den Normalteiler . Der Invariantenring wird nach Beispiel von

erzeugt mit der Relation

Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe , wobei das nichttriviale Element (die ) durch

repräsentiert wird. Diese Matrix schickt auf und auf . Daher ist

und

und damit

Ferner wird auf

geschickt. Das Element wird auf

also auf sich selbst geschickt. Neben

sind, wie man direkt nachrechnet, auch

und

invariant. Wegen

einerseits und

andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation

Mit und liegt also die Relation

vor.

Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der vorliegt, die von einer -Graduierung herrühren muss. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch und . Durch Diagonalisierung dieser Matrix erhält man, dass

und

Eigenvektoren zu den Eigenwerten bzw. sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen

und

kann man die definierende Gleichung (des Invariantenringes zu ) in den Variablen als

Wir können also davon ausgehen, dass der Ring

vorliegt, der -graduiert ist, wobei den Grad , den Grad und den Grad bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad . Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt

und

Mit Hilfe der Relation kann man (und ) als Linearkombination von ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu

isomorph. Man spricht von der -Singularität.