Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel

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Es sei und es sei ein Körper der Charakteristik , der eine vierte primitive Einheitswurzel und eine -te primitive Einheitswurzel enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen

erzeugte Untergruppe (die man auch als bezeichnet) der mit ihrer natürlichen Operation auf . Es sei die von erzeugte zyklische Untergruppe der Ordnung . Da die Ordnung besitzt, ist ein Normalteiler in . Daher können wir mit Hilfe von Fakt  (3) und Beispiel den Invariantenring ausrechnen. Es ist ja

Die Operation des nichttrivialen Elementes aus auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von auf repräsentiert. Sie ist also durch und gegeben und induziert

wobei ist, je nachdem, ob gerade oder ungerade ist.

Durch diese Operation ist -graduiert. Bei gerade sind

invariante Polynome (bei ungerade ) und und sind semiinvariante Polynome. Mittels und lässt sich für jedes Monom die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben (wegen kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden). Deshalb bilden ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes

Es besteht die Relation

Da das Polynom

irreduzibel ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist

Unter schwachen Bedingungen an den Körper ist dieser Ring isomorph zu