Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip

Einleitung

Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag $|f|$ einer holomorphen Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.

Satz - Maximumuprinzip

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph.

• (MAX1) Hat $|f|$ in $G$ ein lokales Maximum, so ist $f$ konstant.
  
• (MAX2) Ist $G$ beschränkt und $f$ auf ${\overline {G}}$ stetig fortsetzbar, so nimmt $|f|$ sein Maximum auf dem Rand $\partial G$ von $G$ an.

Beweis

Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von $z_{o}$ zutrifft und nicht auf ganz $G$, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass $f$ auch auf ganz $G$ konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz $G$ übereinstimmen.

Lemma - lokal konstant

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Sei $z_{0}\in G$ eine lokale Maximalstelle von $|f|$. Dann ist $f$ auf einer Umgebung von $z_{0}$ konstant.

Beweis des Lemmas 1

Es sei $r>0$ so gewählt, dass $|f(z)|\leq |f(z_{0})|$ für alle $z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}\subseteq G$ gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle $\varepsilon \leq r$ mit $\varepsilon >0$, dass

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{0})}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz$

Bemerkung zu Beweisschritt 1

Man verlangt, dass $z\in {\overline {D_{r}(z_{0})}}\subseteq G$ erfüllt ist, damit auch für $\varepsilon <r$ bei dem Integral über den Kreisrand $\partial D_{\varepsilon }(z_{0})$ die Spur des Weges in ${\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset G$ liegt.

Beweis des Lemmas 2

Man erhält die folgende Abschätzung:

${\begin{array}{rl}|f(z_{0})|&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{0})}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{0}+\varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}}}\varepsilon \cdot i\cdot e^{it}\,dt\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\,dt\\&\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\\&\leq |f(z_{0})|\end{array}}$

Bemerkung zu Schritt Lemmas 2

In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass $|f(z_{o})|$ ein lokales Maximum ist und damit betragsmäßig ist $|f|$ sogar größer als alle Punkte in ${\overline {D_{\varepsilon }(z_{o})}}$ wird. Damit gilt die Aussage also insbesondere für den Kreisrand.

Beweis des Lemmas 3

Daraus folgt, dass es sich bei der $\leq$-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit $|f(z_{0})|$ beginnt und endet.

${\begin{array}{rl}|f(z_{0})|=&\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0})|\cdot {\frac {1}{2\pi }}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\,dt\\\Rightarrow &0=\int _{0}^{2\pi }(|f(z)|-|f(z_{0})|)dt\\\Rightarrow &|f(z)|=|f(z_{0})|\end{array}}$

Da man das $\varepsilon$ beliebig mit der Bedingung $0<\varepsilon \leq r$ wählen.

Beweis des Lemmas 4

Damit erhalten wir die Konstanz von $|f|$ über die Eigenschaft:

$|f(z)|=|f(z_{0})|$ für alle $z\in {\bar {D}}_{r}(z_{0})$,

d.h. $|f|$ ist auf $D_{r}(z_{0})$ konstant.

Beweis des Lemmas 5

Wenn $|f|={\sqrt {{\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}}}$ auf $D_{r}(z_{0})$ konstant ist, dann muss auch ${\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}=c$ konstant sein mit einer Konstante $c\in \mathbb {R}$.

Beweis des Lemmas 6

Wegen $f$ holomorph auf $D_{r}(z_{0})$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

$u:={\mathfrak {Re}}(f),\ v:={\mathfrak {Im}}(f)\ {\mbox{ und }}\ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

und es gilt

${\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial x}}=0{\mbox{ und }}{\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial y}}=0$

Beweis des Lemmas 7

Ist $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$ und $u_{y}={\frac {\partial u}{\partial y}}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

$0=2uu_{x}+2vv_{x}$ und $0=2uu_{y}+2vv_{y}$

Mit CR-DGL $u_{x}=v_{y}$ und $u_{y}=-v_{x}$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von $v$ durch partielle Ableitungen von $u$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

$0=2\cdot (uu_{x}-vu_{y})$ und $0=2\cdot (uu_{y}+vu_{x})$

Beweis des Lemmas 8

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

$0=(uu_{x}-vu_{y})^{2}=u^{2}u_{x}^{2}-2uu_{x}\cdot vu_{y}+v^{2}u_{y}^{2}$

$0=(uu_{y}+vu_{x})^{2}=u^{2}u_{y}^{2}+2uu_{y}\cdot vu_{x}+v^{2}u_{x}^{2}$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

$0=u^{2}u_{x}^{2}+v^{2}u_{y}^{2}+u^{2}u_{y}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}$

Beweis des Lemmas 9

Durch Ausklammern von $u^{2}$ und $v^{2}$ erhält man:

$0=u^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+v^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=(u^{2}+v^{2})\cdot (u_{x}^{2}+u_{y}^{2})$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

$0=u^{2}+v^{2}\vee 0=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$

Beweis des Lemmas 10

• Mit $u^{2}=-v^{2}$ folgt $u=v=0$ da $u(x,y)$ und $v(x,y)$ reellwertig sind und damit gilt $f=u+iv=0$.
• $u_{x}^{2}=-u_{y}^{2}$ folgt $u_{x}^{2}=u_{y}^{2}=0$ und $u_{x}=u_{y}=0$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch $f'=0$

Insgesamt ist also $f$ konstant auf $D_{r}(z_{0})$.

Beweis MAX2 - Maximumprinzip

Es sei $z_{0}\in G$ eine lokale Maximalstelle von $|f|$ in dem Gebiet $G$. $V:=\{z\in G:f(z)=f(z_{0})\}$ sei die Menge alle $z\in G$ die auf $w:=f(z_{0})\in \mathbb {C}$ abbilden (Niveaumenge).

Beweis 1: V abgeschlossen

Da $f$ stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in $G$). Da die Menge $\{w\}\subset \mathbb {C}$ abgeschlossen ist, ist $V=f^{-1}(\{w\})$ abgeschlossen in $G$.

Beweis 2: V offen

Nach dem Lemma lässt sich die $V$ auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.

Beweis 3: Zusammenhang

Also ist $V=G$ wegen des Zusammenhangs von $U$, d. h. $f$ ist konstant.

Beweis 4: G beschränkt

Ist $G$ beschränkt, so ist ${\bar {G}}$ kompakt, also nimmt die stetige Funktion $f$ auf ${\bar {G}}$ ihr Maximum an, etwa an der Stelle $z_{0}\in {\bar {G}}$. Ist $z_{0}\in G$, so ist $f$ nach obigem Lemma auf $G$ konstant und damit auf ${\bar {G}}$ konstant, also nimmt $f$ sein Maximum auch auf $\partial G$ an. Anderenfalls ist $z_{0}\in \partial G$ und wir sind fertig.

Bemerkung - Maximum im Inneren

Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass $f$ konstant auf $G$ und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt $f$ natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass $f$ durch Beschränktheit auf ${\overline {G}}$ auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss.

Siehe auch

• Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen
• Anwendungen der CR-DG
• Satz von der Gebietstreue verwendet das Maximumprinzip

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