Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Einleitung[Bearbeiten]

Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag einer holomorphen Funktion kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet, holomorph. Hat in ein lokales Maximum, so ist konstant.
Ist beschränkt und auf stetig fortsetzbar, so nimmt sein Maximum auf an.

Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft

Lemma[Bearbeiten]

Es sei offen, holomorph. Sei eine lokale Maximalstelle von . Dann ist auf einer Umgebung von konstant.

Beweis des Lemmas 1[Bearbeiten]

Es sei so gewählt, dass für alle gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle , dass

Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:

Beweis des Lemmas 2[Bearbeiten]

Man erhält die folgende Abschätzung:

Beweis des Lemmas 3[Bearbeiten]

Daraus folgt, dass es sich bei der -Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit

.

Beweis des Lemmas 4[Bearbeiten]

Damit erhalten wir die Konstanz von über die Eigenschaft:

für alle ,

d.h. ist auf konstant.

Beweis des Lemmas 5[Bearbeiten]

Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante .

Beweis des Lemmas 6[Bearbeiten]

Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

und es gilt

Beweis des Lemmas 7[Bearbeiten]

Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

und

Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

und

Beweis des Lemmas 8[Bearbeiten]

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

Beweis des Lemmas 9[Bearbeiten]

Durch Ausklammern von und erhält man:

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

Beweis des Lemmas 10[Bearbeiten]

  • Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
  • folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch

Insgesamt ist also konstant auf .

Beweis[Bearbeiten]

Es sei eine lokale Maximalstelle von in dem Gebiet . sei die Menge alle die auf abbilden (Niveaumenge).

Beweis 1: V abgeschlossen[Bearbeiten]

Da stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in ). Da die Menge abgeschlossen ist, ist abgeschlossen in .

Beweis 2: V offen[Bearbeiten]

Nach dem Lemma lässt sich die auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.

Beweis 3: Zusammenhang[Bearbeiten]

Also ist wegen des Zusammenhangs von , d. h. ist konstant.

Beweis 4: G beschränkt[Bearbeiten]

Ist beschränkt, so ist kompakt, also nimmt die stetige Funktion auf ihr Maximum an, etwa an der Stelle . Ist , so ist nach obigem Lemma auf konstant und damit auf konstant, also nimmt sein Maximum auch auf an. Anderenfalls ist und wir sind fertig.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.