Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag einer holomorphen Funktion kann im Inneren des Definitionsbereiches keine
echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.
Es sei ein Gebiet, holomorph. Hat in ein
lokales Maximum, so ist konstant.
Ist beschränkt und auf stetig fortsetzbar, so nimmt sein Maximum auf an.
Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft
Es sei offen, holomorph. Sei eine lokale Maximalstelle von
. Dann ist auf einer Umgebung von konstant.
Es sei so gewählt, dass für alle gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle , dass
Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:
Man erhält die folgende Abschätzung:
Daraus folgt, dass es sich bei der -Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit
.
Damit erhalten wir die Konstanz von über die Eigenschaft:
- für alle ,
d.h. ist auf konstant.
Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante .
Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für
und es gilt
Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen
- und
Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):
- und
Wir quadrieren die beiden Gleichungen
und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:
Durch Ausklammern von und erhält man:
Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:
- Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
- folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch
Insgesamt ist also konstant auf .
Es sei eine lokale Maximalstelle von in dem Gebiet . sei die Menge alle die auf abbilden (Niveaumenge).
Da stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in ). Da die Menge abgeschlossen ist, ist abgeschlossen in .
Nach dem Lemma lässt sich die auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.
Also ist wegen des Zusammenhangs von ,
d. h. ist konstant.
Ist beschränkt, so ist kompakt, also nimmt die stetige Funktion auf ihr Maximum an, etwa an der Stelle . Ist , so ist nach obigem Lemma auf konstant und damit auf konstant, also
nimmt sein Maximum auch auf an. Anderenfalls ist und wir sind fertig.
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