Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ ein Monoid und ${}K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

$\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$

ein Charakter von ${}G$ in ${}K$.

Die Menge der Charaktere von ${}G$ nach ${}K$ bezeichen wir mit ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$. Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach ${}1$) und der Verknüpfung

$(\chi _{1}\cdot \chi _{2})(g):=\chi _{1}(g)\cdot \chi _{2}(g)$

ist ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$ selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von ${}G$ nach ${}K^{\times }$. Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter ${}\chi ^{-1}$ gibt, der durch ${}\chi ^{-1}(g)=(\chi (g))^{-1}$ definiert ist, bildet ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$ sogar eine kommutative Gruppe. Da Charaktere insbesondere Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$ sind, macht es Sinn, von Linearkombinationen von Charakteren zu sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.

Satz

Es sei ${}G$ ein Monoid, ${}K$ ein Körper und  ${}\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$  seien ${}n$ Charaktere.

Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ${}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$).

Beweis

Es sei

${}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$

wobei die ${}\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle  ${}a_{i}\in K$  von ${}0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${}n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen  ${}\chi (e_{G})=1$  ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest  ${}n\geq 2$.  Wegen  ${}\chi _{1}\neq \chi _{2}$  gibt es auch ein  ${}g\in G$  mit  ${}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$.  Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$)

${}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$

Für ein beliebiges  ${}h\in G$  ist nämlich

${}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${}\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${}\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen ${}a_{2}\neq 0$ und der Wahl von ${}g$) lineare Relation zwischen ${}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${}n$.

$\Box$