Die Menge der Charaktere von nach bezeichen wir mit . Mit dem trivialen Charakter
(also der konstanten Abbildung nach )
und der Verknüpfung
ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von nach . Da es zu jedem Charakter den
inversen Charakter gibt, der durch definiert ist, bildet sogar eine
kommutative Gruppe.
Da Charaktere insbesondere Abbildungen von nach sind, macht es Sinn, von
Linearkombinationen
von Charakteren zu sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.
wobei die verschiedene Charaktere seien und alle von verschieden seien. Darüber hinaus sei minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen
ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest
.
Wegen
gibt es auch ein
mit
.
Wir behaupten die Gleichheit
(wieder von Abbildungen von nach )
Für ein beliebiges ist nämlich
wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom -fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man elimineren und erhält eine nichttriviale
(wegen
und der Wahl von )
lineare Relation zwischen im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von .