Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

ein Charakter von in .

Die Menge der Charaktere von nach bezeichen wir mit . Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach ) und der Verknüpfung

ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von nach . Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter gibt, der durch definiert ist, bildet sogar eine kommutative Gruppe. Da Charaktere insbesondere Abbildungen von nach sind, macht es Sinn, von Linearkombinationen von Charakteren zu sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.



Satz  

Es sei ein Monoid, ein Körper und seien Charaktere.

Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ).

Beweis  

Es sei

wobei die verschiedene Charaktere seien und alle von verschieden seien. Darüber hinaus sei minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest . Wegen gibt es auch ein mit

. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von nach )

Für ein beliebiges ist nämlich

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom -fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen und der Wahl von ) lineare Relation zwischen im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von .