Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$

die zugehörige ${}K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ surjektiv.
2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ injektiv.
3. Wenn ${}U$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und

   $\psi \colon U\longrightarrow V$

   eine weitere ${}K$-lineare Abbildung ist, so gilt

   ${}\bigwedge ^{n}(\varphi \circ \psi )={\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}\circ {\left(\bigwedge ^{n}\psi \right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen