Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Zuordnung aus, die jedem von ${}0$ verschiedenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ von ${}R$ das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {a}}S$ zuordnet, das ebenfalls von ${}0$ verschieden ist. Diese Zuordnung ist mit dem Produkt von Idealen verträglich. Deshalb liegt ein Monoidhomomorphismus vor. Ein gebrochenes Ideal kann man nach Aufgabe in der Form ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1}$ mit Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ schreiben und diesem das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}S({\mathfrak {b}}S)^{-1}$ zuordnen. Dies ist wohldefiniert und so erhält man einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ von ${}R$ in die Gruppe der gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ von ${}S$. Das Erweiterungsideal eines Hauptideals ist wieder ein Hauptideal, und deshalb werden gebrochene Hauptideale auf gebrochene Hauptideale abgebildet. Der Satz vom induzierten Homomorphismus ergibt somit einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(S\right)}.$

Zur bewiesenen Aussage