Dedekindbereich/Galoistheorie/Zerlegungskörper/Restekörper/Aufgabe

Es sei ${}R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ mit ${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R$. Es sei ${}Z_{\mathfrak {q}}$, ${}K\subseteq Z_{\mathfrak {q}}\subseteq L$, der Zerlegungskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}T$, ${}R\subseteq T\subseteq S$, der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass die Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in Bijektion mit der Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(T\right)}$ steht, und dass ${}\kappa ({\mathfrak {q}}\cap T)$ und ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ isomorph sind.

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