Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

Wir können über dem diskreten Bewertungsring argumentieren, also davon ausgehen, dass ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ein freier -Modul vom Rang und somit ist

ein -Vektorraum der Dimension . Oben rechts steht das Produkt der -Vektorräume und es ist zu zeigen, dass deren -Dimension gleich ist. Dies zeigen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang für die Definition des Trägheitsgrades ist. Wegen liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Dabei ist

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.