Beweis
Nach
dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche
ist
-
![{\displaystyle {}S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9afe484dfa879652220a8842e6c3f09c341a41b)
Wir können über dem
diskreten Bewertungsring
argumentieren, also davon ausgehen, dass
ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal
ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist
ein freier
-Modul vom Rang
und somit ist
-
![{\displaystyle {}S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81347c63435c5d205e15fc316c2368b47ad46a0)
ein
-Vektorraum
der
Dimension
. Oben rechts steht das Produkt der
-Vektorräume
und es ist zu zeigen, dass deren
-Dimension gleich
ist. Dies zeigen wir durch Induktion über
,
wobei der Induktionsanfang für
die Definition des Trägheitsgrades
ist. Wegen
liegt eine
kurze exakte Sequenz
-
vor. Dabei ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac9c9ebc0b4fc178d82483206b1388d5659e948)
Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.