Beweis
Nach
dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche
ist
-
Wir können über dem
diskreten Bewertungsring
argumentieren, also davon ausgehen, dass ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ein freier -Modul vom Rang und somit ist
-
ein
-Vektorraum
der
Dimension
. Oben rechts steht das Produkt der -Vektorräume und es ist zu zeigen, dass deren -Dimension gleich ist. Dies zeigen wir durch Induktion über
,
wobei der Induktionsanfang für
die Definition des Trägheitsgrades ist. Wegen
liegt eine
kurze exakte Sequenz
-
vor. Dabei ist
-
Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.