Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Eigenschaften/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
- Der -Modulisomorphismus , , führt direkt zu einem Isomorphismus , , da ja zu äquivalent ist.
- Es ist klar, dass ein von verschiedener
-Untermodul
von ist. Wenn durch erzeugt wird, so betrachten wir
mit
,
wobei jetzt ein Erzeugendensystem der Form mit
besitzt. Die Bedingung
impliziert . Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf .
- Für das
Produkt
ist offenbar
Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal oberhalb von geben. Es sei mit einer Ortsuniformisierenden und mit . Es gibt dann auch ein Element , das an der Stelle die Ordnung besitzt. Dazu gibt es auch ein , das an der Stelle die Ordnung und sonst überall eine hinreichend große Ordnung besitzt derart, dass ist. Dies ist ein Widerspruch, da an der Stelle die Ordnung besitzt.