Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ und

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

die Zerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ in Ideale, die es nach Fakt gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende ${}p$ zu ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung ${}r_{j}$ besitzt. Es liegt nach Fakt genau dann Verzweigung vor, wenn ${}r_{j}\geq 2$ für mindestens ein ${}j$ gilt. Der Faserring ist unter Verwendung von Fakt gleich

${}\kappa ({\mathfrak {p}})[X]/(F)=S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn ${}r_{j}=1$ für alle ${}j$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage