Dedekindbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}$, und wir können wegen Fakt direkt zu

$B=R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$

übergehen. Die Bedingung

${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,$

ist äquivalent zu

${}\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,$

da ja ${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}$ ein endlicher erzeugter ${}A_{\mathfrak {q}}$-Modul über dem lokalen Ring ${}A_{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion

$A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}$

ist dies auch äquivalent zu

${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.$

Nach Fakt angewendet auf

${\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist

${}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,$

und dies ist die Lokalisierung von ${}\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ an ${}{\mathfrak {q}}$. Somit ist die Lokalisierung von ${}\Omega _{A{|}B}$ an ${}{\mathfrak {q}}$ genau dann von ${}0$ verschieden, wenn ${}\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ lokalisiert an ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in ${}{\mathfrak {q}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn ${}R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage