Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\varphi$ stetig differenzierbar ist, ist die Abbildung

$G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto j(x)=\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert ,$

stetig und daher nach Fakt gleichmäßig stetig auf dem kompakten Quader ${}Q$. D.h. zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}j(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(j(x),\epsilon \right)$ für alle ${}x\in Q$. Dann gibt es auch ein ${}{\tilde {\delta }}>0$ derart, dass für alle kompakten Teilquader ${}K\subseteq Q$ mit maximaler Kantenlänge ${}\leq {\tilde {\delta }}$ das Bild ${}j(K)$ in einem abgeschlossenen Intervall der Länge ${}2\epsilon$ liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von ${}{\left\{j(x)\mid x\in K\right\}}$ maximal gleich ${}2\epsilon$.

Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir unterteilen ${}Q$ in ${}k^{n}$ kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in ${}k$ gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei ${}k\in \mathbb {N}$ so groß, dass die entstehenden ${}k^{n}$ Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei ${}I$ eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also ${}Q=\bigcup _{i\in I}K_{i}$ und damit ${}\varphi (Q)=\bigcup _{i\in I}\varphi (K_{i})$. Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nach Fakt und die Schnittmengen der ${}\varphi (K_{i})$ als Bilder von Quaderseiten nach Fakt Nullmengen. Wir wenden Fakt auf die Teilquader ${}K_{i}$ an und erhalten

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\min {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&=\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\max {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}.\end{aligned}}$

Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch

${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})2\epsilon =2\epsilon \lambda ^{n}(Q)\,$

beschränkt, kann also durch ${}\epsilon \rightarrow 0$ beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das Integral ${}\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)$, sodass

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)\,$

gilt.

Zur bewiesenen Aussage