Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\varphi$ stetig differenzierbar ist, ist die Abbildung

$G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto j(x)=\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert ,$

stetig und daher nach Fakt gleichmäßig stetig auf dem kompakten Quader ${}Q$. D.h. zu jedem  ${}\epsilon >0$  gibt es ein  ${}\delta >0$  mit  ${}j(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(j(x),\epsilon \right)$  für alle  ${}x\in Q$.  Dann gibt es auch ein  ${}{\tilde {\delta }}>0$  derart, dass für alle kompakten Teilquader  ${}K\subseteq Q$  mit maximaler Kantenlänge ${}\leq {\tilde {\delta }}$ das Bild ${}j(K)$ in einem abgeschlossenen Intervall der Länge ${}2\epsilon$ liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von ${}\left\{j(x)\mid x\in K\right\}$ maximal gleich ${}2\epsilon$.

Sei  ${}\epsilon >0$  gegeben. Wir unterteilen ${}Q$ in ${}k^{n}$ kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in ${}k$ gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei  ${}k\in \mathbb {N}$  so groß, dass die entstehenden ${}k^{n}$ Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei ${}I$ eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also  ${}Q=\bigcup _{i\in I}K_{i}$  und damit  ${}\varphi (Q)=\bigcup _{i\in I}\varphi (K_{i})$.  Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nach Fakt und die Schnittmengen der ${}\varphi (K_{i})$ als Bilder von Quaderseiten nach Fakt Nullmengen. Wir wenden Fakt auf die Teilquader ${}K_{i}$ an und erhalten

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\min \left(j(x),x\in K_{i}\right)}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&=\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\max \left(j(x),x\in K_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch

${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})2\epsilon =2\epsilon \lambda ^{n}(Q)\,$

beschränkt, kann also durch ${}\epsilon \rightarrow 0$ beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das Integral ${}\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)$, sodass

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)\,$

gilt.

Zur bewiesenen Aussage