Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(M),$

   ist die Tangentialabbildung.

2. Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$-linear.
3. Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(M)$ gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge d\tau \,$

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$.
5. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   ${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen