Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,  $k\in \mathbb{N}$  und es sei

$d:{ℰ}_1^k(M)⟶{ℰ}_0^{k+1}(M),\omega ⟼d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d:{ℰ}_1^0(M)⟶{ℰ}_0^1(M),$

   ist die Tangentialabbildung.

2. Die äußere Ableitung ist $ℝ$-linear.
3. Für  $\omega \in {ℰ}_1^k(M)$  und  $\tau \in {ℰ}_1^{\ell }(M)$  gilt die Produktregel

   $d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1{)}^k\omega \wedge d\tau$

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform $\omega$ ist  $d(d\omega )=0$. 
5. Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung

   $\psi :L⟶M$

   und jedes  $\omega \in {ℰ}_1^k(M)$  gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   $d({\psi }^{\ast }\omega )={\psi }^{\ast }(d\omega ).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen