Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt den Kreis mit dem Radius

   ${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$

   und dem Mittelpunkt

   ${}M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

   den Krümmungskreis zu ${}\gamma$ in ${}t_{0}$.

2. Eine abgeschlossene Teilmenge ${}M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}\theta \colon W\rightarrow W'$, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

   ${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

3. Der Tangentialraum ${}T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
4. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
5. Der Rand von ${}M$ ist durch

   ${}\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$

   definiert, wobei ${}\alpha _{i}$ Karten sind.

6. Es sei ${}{\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${}{\left(g_{ij}\right)}$. Man nennt (die auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen)

   ${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

   die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.

Zur gelösten Aufgabe