Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

   $h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser ${}Y=h^{-1}(c)$ von ${}h$ zu ${}c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

   Dann ist die Gauß-Abbildung

   $Y\longrightarrow S^{n-1}$

   surjektiv.
2. Es sei

   $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

   eine differenzierbare Kurve mit ${}y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu ${}M=\gamma (I)$ induziere, wobei ${}M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.

   Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

   $2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$

3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(U)$ differenzierbare Differentialformen auf ${}U$. Dann gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge (d\tau )\,.$

Zur gelösten Aufgabe