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Differenzenquotient/D offen K/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl

der Differenzenquotient von zu und .

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte und , diese Situation wird auch durch das Steigungsdreieck dargestellt. Für ist dieser Differenzenquotient nicht definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der „Tangente“.


Definition  

Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben

Die Ableitung in einem Punkt ist, falls sie existiert, ein Element in . Häufig nimmt man die Differenz als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt gegen gehen, d.h. man betrachtet

Die Bedingung wird dann zu , . Wenn die Funktion einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient die (effektive) Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten und und ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt .


Beispiel  

Es seien und sei

eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt betrachtet man

Dies ist konstant gleich , so dass der Limes für gegen existiert und gleich ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich . Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.



Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

Der Differenzenquotient zu und ist

Der Limes davon für gegen ist . Die Ableitung ist daher .