Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt

Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$f\colon D\longrightarrow E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D$

Es sei ${}f$ in

 ${}a\in D$  differenzierbar mit  ${}f'(a)\neq 0$. 

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in  ${}b=f(a)$  differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen