Differenzierbare Funktion/Quadrik/Graph/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$

Gemäß Fakt wird die Weingartenabbildung des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von ${}f$ beschrieben, also durch

${\begin{pmatrix}2a_{1}&0&0&0\\0&2a_{2}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&2a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also ${}2a_{1},\ldots ,2a_{n-1}$ und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.