Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel als Kernbündel/Beispiel

Es sei $W \subseteq ℝ^{n}$ offen, $h : W \to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y = h^{- 1} (c)$ die Faser zu $c \in ℝ$ , wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Der Tangentialraum $T_{P} Y$ zu $P \in Y$ ist der Kern des totalen Differentials ${(D h)}_{P}$ , das durch die partiellen Ableitungen $\frac{\partial h}{\partial x_{1}} (P), \dots, \frac{\partial h}{\partial x_{n}} (P)$ gegeben ist und daher als $(n - 1)$ -linearer Untervektorraum des $ℝ^{n}$ vorliegt, siehe auch Fakt. Wir betrachten die Abbildung

Y \times ℝ^{n} ⟶ Y \times ℝ, (P; t_{1}, \dots, t_{n}) ⟼ (P; \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial h}{\partial x_{i}} (P) t_{i})

und das zugehörige Kernbündel

E = {(P; t_{1}, \dots, t_{n}) ∣ P \in Y, \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial h}{\partial x_{i}} (P) t_{i} = 0} \subseteq Y \times ℝ^{n} .

im Sinne von Bemerkung. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an $Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe ergibt.