Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierte Bündelhomomorphismen/Bemerkung

Es sei

f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ aus Bemerkung mit den dortigen Bezeichnungen an. Das zurückgezogene Tangentialbündel ${}\pi ^{*}TY$ zu

\pi \colon TY\longrightarrow Y,

das zugleich das Vertikalbündel ist, ist

{}{\begin{aligned}V&\cong \pi ^{*}TY\\&=TY\times _{Y}TY\\&={\left\{(P,u,z)\mid f(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)=0,\,\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(P)=0\right\}}.\end{aligned}}

Wir müssen bestimmen, wie die tangentiale Abbildung ${}T(\pi )\colon TTY\rightarrow \pi ^{*}TY$ und wie die Einbettung des Vertikalbündels in ${}TTY$ aussieht. Nach Aufgabe ist