Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Implizite Beschreibung/Bemerkung

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Das Tangentialbündel ${}TY$ lässt sich ebenfalls als eine Faser von Funktionen beschreiben, nämlich als

${}{\begin{aligned}TY&={\left\{(P,u)\mid f(P)=0,\,{\left(Df\right)}_{P}{\left(u\right)}=0\right\}}\\&={\left\{(P,u_{1},\ldots ,u_{n})\mid f(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\\&\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\end{aligned}}$

siehe Aufgabe. Wir fassen dabei ${}f$ als Funktion auf dem ${}\mathbb {R} ^{2n}$ auf, die nur von den ersten ${}n$ Variablen abhängt, und wir setzen

${}g(P,u)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)\,.$

Das zweite Tangentialbündel ${}TTY$, also das Tangentialbündel zu ${}TY$, können wir entsprechend mit dem totalen Differential zu

$\varphi =(f,g)\colon \mathbb {R} ^{2n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

beschreiben, es ist

${}{\begin{aligned}TTY&={\left\{(P,u,v,w)\mid (P,u)\in TY,\,{\left(D\varphi \right)}_{(P,u)}{\left((v,w)\right)}=0\right\}}\\&\subseteq \mathbb {R} ^{4n}.\end{aligned}}$

Die Jacobi-Matrix, die das totale Differential ${}D\varphi$ beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)&0&\ldots &0\\\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)&\ldots &\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}.$

Dies ergibt neben den beiden Bedingungen für den ${}TY$, die sich nur auf ${}P$ und ${}u$ beziehen, die beiden zusätzlichen Bedingungen an alle Variablen, nämlich

${}\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)=0\,$

und

${}\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)\right)}+\sum _{k=1}^{n}w_{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(P)=0\,.$