Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Differenzierbarer Weg/Zweites Tangentialbündel/Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von $Y$ seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in $W\times {ℝ}^n$ bzw. in $W\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n$ im Sinne von Bemerkung zusammen mit den Bündelprojektionen

$\pi :TY⟶Y,(P,u)⟼P,$

und

$q:TTY⟶TY,(P,u,v,w)⟼(P,u),$

realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine differenzierbare Kurve

   $ϵ:I⟶TY,t⟼(P(t),u(t)),$

   auf einem offenen Intervall  $I\subseteq ℝ$  mit  $0\in I$  definiert den Tangentialvektor  $[ϵ]=(P(0),u(0),P^{\prime }(0),u^{\prime }(0))\in TTY$. 

2. Unter der Tangentialabbildung

   $T_{(P,u)}(\pi ):T_{(P,u)}TY⟶T_{P}Y$

   zu $\pi$ wird die Klasse $[ϵ]$ aus (1) auf

   $[\pi \circ ϵ]=[P^{\prime }(0)]$

   abgebildet.

3. Unter der Tangentialabbildung $T(\pi ):TTY\to TY$ zu $\pi$ wird $(P,u,v,w)$ auf $(P,v)$ abgebildet.

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