Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Differenzierbarer Weg/Zweites Tangentialbündel/Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von ${}Y$ seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in ${}W\times \mathbb {R} ^{n}$ bzw. in ${}W\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Bemerkung zusammen mit den Bündelprojektionen

$\pi \colon TY\longrightarrow Y,\,(P,u)\longmapsto P,$

und

$q\colon TTY\longrightarrow TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u),$

realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine differenzierbare Kurve

   $\epsilon \colon I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto (P(t),u(t)),$

   auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ mit ${}0\in I$ definiert den Tangentialvektor ${}[\epsilon ]=(P(0),u(0),P'(0),u'(0))\in TTY$.

2. Unter der Tangentialabbildung

   $T_{(P,u)}(\pi )\colon T_{(P,u)}TY\longrightarrow T_{P}Y$

   zu ${}\pi$ wird die Klasse ${}[\epsilon ]$ aus (1) auf

   ${}[\pi \circ \epsilon ]=[P'(0)]\,$

   abgebildet.

3. Unter der Tangentialabbildung ${}T(\pi )\colon TTY\rightarrow TY$ zu ${}\pi$ wird ${}(P,u,v,w)$ auf ${}(P,v)$ abgebildet.

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